외팔보의 고유진동수 (Cantilever beam의 고유진동주파수 수식 산출방법)
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외팔보 지지구조는 양단으로 지지되어 가동하는 회전기계(모터, 팬, 펌프, Roll등)와 비교하였을 때 구조 자체가 안정적이지 못하여 긴 구조의 경우 굽힘에 대한 영향을 무시할 수 없다. 특히 스핀들을 이용한winding 섬유기계는 해당되는 문제가 빈번하고 실이 엉키거나 기계전체가 진동으로 인하여 본연의 기능을 재현할 때 장애가 발생한다. 또한 굽힘 이외에 비틀림 동하중도 발생하므로 Conical mode의 문제점도 발생한다. 무엇보다도 가장 문제가 시급한 것은 고유주파수에 의한 방향성 공진(Resonance)라고 할 수 있다.
외팔보의 강성과 고유주파수
외팔보의 굽힘강성은 3EI/L³ (E:종탄성계수, I:단면2차모멘트, L:외팔보의 길이)로서 단면의 형상과 재질 그리고 가장 많은 영향을 받는 외팔보의 길이로 나타날 수 있음을 확인할 수 있다.
이미 알고 있듯이 고유진동주파수는 강성에 비례하고 질량에 반비례한다. 먼저 강성(Stiffness)의 측면에서 검토해 보자.
종탄성계수(E)는 재질의 특성값이고 외팔보의 길이(L)를 조절할 수 없을 경우에 단면의 형상을 조절하여 고유주파수를 변동할 수 있는데 단면의 형상이 원형일 경우에는 (I=πd⁴/64)의 형태를 가지고 단면의 형상이 사각형일 경우에는 (I=bh³/12, b는 폭, h는 높이)로서 운동방향에 폭보다 높이가 큰 영향을 주는 것을 알 수 있다. 즉, 외팔보의 강성을 증가시켜서 고유주파수를 상승시키기 위한 방법은 첫째, 외팔보의 길이를 짧게하거나 두번째, 상하방향의 단면 높이를 두껍게 하는 것이 주효하다고 할 수 있다. 고유주파수를 상승시키는 또 다른 방법이 있는데 바로 질량을 변동시키는 것이다. 이 때 끝단에 m의 질량을 올려놓는 것과 같은 등가의 질량을 등가질량(Equal mass)이라고 한다. 균등하게 질량이 분포하는 회전체의 경우에는 끝단에 모두 분포하는 것처럼 재계산을 해주어야 하는데 대략 전체질량의 1/2m이 된다. 참고로 비틀림강성은 GIp/L로서 (G:체적탄성계수, Ip:단면2차 극모멘트- πd⁴/32, bh³/6) 으로 나타낼 수 있다. 또한 외팔보가 아닌 양단단순지지의 경우에는 굽힘강성이16배 증가(48EI/L³) 하며, 강지지 또는 자유지지의 경우에는 굽힘강성이64배 증가(192EI/L³) 한다. 자세한 내용은 재료역학(Static, 정역학)을 참조하라.
키워드
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고유주파수, 외팔보, 동하중, 캔틸레버 빔,
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