20 Cantilever beam의 고유진동주파수 외팔보의 natural frequency 이론수식 산출방법

Cantilever beam의 고유진동주파수 (외팔보의 natural frequency 이론수식 산출방법)

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외팔보 지지구조는 양단으로 지지되어 가동하는 회전기계(모터, 팬, 펌프, Roll등)와 비교하였을 때 구조 자체가 안정적이지 못하여 긴 구조의 경우 굽힘에 대한 영향을 무시할 수 없다. 특히 스핀들을 이용한 winding 섬유기계같은 구조는 해당되는 문제가 빈번하고 실이 엉키거나 기계전체가 진동으로 인하여 본연의 기능을 재현할 때 장애가 발생한다. 또한 굽힘 이외에 비틀림 동하중도 발생하므로 Conical mode의 문제점도 발생한다. 무엇보다도 가장 문제가 시급한 것은 고유주파수에 의한 방향성 공진(Resonance)이라고 할 수 있다.

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회전자(Rotor)의 고유진동수 (양단 단순지지로 고정된 회전자의 고유진동수 추측방법)

회전자(Rotor)의 고유진동수 (양단 단순지지로 고정된 회전자의 고유진동수 추측방법)

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양단 단순지지 구조는 양단으로 지지되어 가동하는 대부분의 회전기계(터빈, 모터, 팬, 펌프, Roll등)에서 사용되고 있는 구조이며 외팔보 구조보다 16배나 높은 굽힘강성을 가지고 있으므로 안정적이며 설치와 해체가 비교적 자유롭다. 또한 굽힘 이외에 비틀림 동하중도 발생할 뿐만 아니라 질량의 상승에 따라 축(shaft)이 휘면서 공전(whirl)하기도 하며 회전속도가 증가할수록 고유주파수가 변동하기도 한다.  

회전자의 강성과 고유주파수

양단 단순지지 구조 보(Beam)의 굽힘강성은 집중질량이 가운데에 배치된 회전자(Rotor) 구조로 모델을 단순화할 수 있으며 그 수식은 k=48EI/L³ (E:종탄성계수, I:단면2차모멘트, L:보의 길이)로서 단면의 형상과 재질 그리고 가장 많은 영향을 받는  횡방향 단순지지 봉의 길이로 나타날 수 있음을 확인할 수 있다. 따라서 고유진동주파수는 강성에 비례하고 질량에 반비례함을 항상 잊지 않아야 한다. 그러나 봉(Shaft)의 질량을 감안할 경우에는 횡방향 탄성계수는 (EI/A)이며 1차모드에 대한 고유각주파수를 계산하면 다음과 같다.

Rotor의 대부분의 형태는 원형이므로 (I=πd⁴/64)의 형태를 가지고 종탄성계수(E)는 재질의 특성값이고 보의 길이(L)를 조절하는 방법으로 베어링 서포트(지지대)의 위치를 조정하는 방법을 선택하게 된다. 고유주파수를 상승시키는 또 다른 방법인 Rotor자체의 질량을 증가시키는 것으로 균등하게 질량이 분포하는 회전체의 경우에는 가운데 모두 분포(집중질량)하는 것처럼 전체질량의 대략1/2m(확인필요)로 재계산을 해주어야 한다.

그런데 여기서 Rotor시스템만의 특이한 점은 첫째, 회전시에는 회전자 전체 질량의 물성치는 없어지게 되고 불평형된 질량의 물성치만 남게 됨을 명심하여야 한다. 둘째, 회전자의 변위는 대부분 베어링 하우징에 장착된 변위센서로 측정하게 되므로 rotor의 축의 하우징에 대한 상대변위를 측정한다는 것, 셋째, 회전자는 임계속도에 이르면 축이 휘면서 공전의 방향이 역방향(Backward whirl)으로 바뀐다는 것. 넷째, 회전자는 고속회전시 감쇠비가 변동하고 감쇠고유주파수가 변동한다는 것, 다섯째, Balancing할 때 질량 중심점(Heavy spot)과 진동 중심점(High spot)의 차이인 ‘System lag’을 이해하고 적용해야 한다는 점 등이며 이것은 ‘Rotor dynamics’에서 자세히 학습할 수 있다.

참고로 비틀림강성은 GIp/L로서 (G:체적탄성계수, Ip:단면2차 극모멘트- πd⁴/32, bh³/6) 으로 나타낼 수 있다. 자세한 내용은 재료역학(Static, 정역학)을 참조하라. 또한, 고유진동수(외팔보)를 참조하라.

키워드	고유주파수, 단순지지보, 동하중, Beam, Rotor dynamics

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정하중과 동하중 (진동은 왜 동하중인가?)

정하중과 동하중 (진동은 왜 동하중인가?)

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과거의 대형 구조물의 설계는 예상되는 최대하중(정하중)에 여유하중을 2배이상 더하고 최대변위가 정해지도록 강성(Stiffness)을 설계하였다. 예를 들면 당시 가상으로 한강다리에 이동하중으로는 가장 무거운 탱크가 모두 배치되어 있는 상태에 여유하중의 3배를 더 두어 지지 트러스 및 구조를 설계하는 방식을 말한다. 이는 매우 튼튼하지만 피로파괴(Fatigue failure)까지는 계산하지 않았다. 즉 탱크보다 훨씬 가벼운 자동차가 수 억만번 이상 지나다니고 난 것 같은 동하중을 설계하지 못했다. 그래서 성수대교도 무너질 수 있었다.

Static & Dynamic

정(Static)과 동(Dynamic)의 차이는 시간의 흐름에 따라 값이 변화하는 가?의 의미를 말한다. 즉, 하중이건, 강성이거나 해석이거나 모든 물성치가 시간에 따라 변할 수 있다는 것을 전제로 하는데 시간에 따라서 하중을 받을 때 크고 작게 느껴진다면 이것은 동적인 하중이라고 할 수 있다. 평형을 상태만을 해석하는 것이 아니라 운동방정식(시간의 함수가 포함된)으로 평형을 해석해야 한다는 것을 말한다. 이것을 동역학이라고 하는데 진동은 동역학의 제일 뒷부분에 존재하며 그 최종 분야에 속한다.

정하중과 동하중으로 인한 변위의 차이

정적인 변위  는 힘을 강성으로 나누어 주었을 때의 결과이다. K는 고유한 강성값으로 설계구조와 재질을 통해 이미 정해져 있는 동강성이고 으로 대체할 수 있다. 반면에 은 w의 각주파수로 m이 움직일 때 정해지는 강성(정강성)이다. 결국 이 두 값의 차이와 하중의 비로 인해 동적변위가 결정된다. 즉, 이 두 값이 서로 유사할수록 공진으로 큰 변위(X)가 발생하는 것이므로 이러한 동하중 설계는 피로파괴에 필수적인 요소가 된다. 따라서 잘 살펴보면 정하중과 동하중이라는 말은 의미를 위한 설명을 위해 만든 말이고 동적인 최대변위 를 발생시키는 그 때 (반복운동을 할 때)의 운동을 동하중(Dynamic force)라고 그리고 진동(vibration)이라고 할 수 있다.

--->수식이 많아서 윗글에는 공란이 있을 것입니다. 이미지로 다시 올립니다. 아래를 참고해주십시오.

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키워드	동하중, 성수대교, 정하중, 피로파괴, 진동

단진자와 현의 고유진동수 (시계추와 기타줄의 고유진동주파수 산출방법)

단진자와 현의 고유진동수 (시계추와 기타줄의 고유진동주파수 산출방법)

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시계추는 똑 같은 시간 동안에 다시 돌아올 수 있어야 시간을 측정하는데 사용할 수 있다. 또한 기타줄은 선의 종류마다 당기는 힘에 따라서 소리가 다르게 울린다. 여기에도 고유진동주파수가 있다.  이전에 언급했듯이 고유한 상태는 자유로운 상태이다. 처음에 힘을 한 번 주고 나면 이 후에도 똑 같은 거동으로 반복운동을 하게 되는 바로 그 고유한 초당 반복수가 고유주파수이다. 계속 힘을 주지 않으면 진동이 줄고 있는 것은 damping(감쇠)에 의한 이유이지만 어쨌든 진동은 똑같이 반복하여 정지하게 된다. 

 

시계추와 기타줄의 고유주파수

단진자는 질량을 가진 추가 선으로 중력을 받고 있을 때 좌우로 초기 힘을 주고 난 후 반복하게 된다. 선의 길이(L)가 짧으면 빨리 반복하고 선이 길면 느리게 반복한다. 여기에서 물리적인 경험에서 약간 느끼기 어려운 점이 있다면 질량과는 관련이 없다는 점이다. 단지 선의 길이와 관련이 있을 뿐이다. 어른이나 어린이나 그네에 앉으면 높이 올라가든 낮게 올라가든 시간당 왕복하는 횟수는 거의 같다는 것을 알 수 있을 것이다.

 

현의 고유진동수는 기타줄이나 바이올린, 톱연주, 피아노 등에서 그 예를 들 수 있다. 즉 기타줄의 종류는 재질과 당기는 힘을 나타내는 장력(F)과 선밀도(µ, kg/m)가 있으며 가장 중요한 고유진동과 그에 따른 고유음(sound)에 관련 있는 요소는 선의 길이(L, 고정된 끝과 끝)이다. 선을 세게 당길수록 길이가 짧을수록 얇고 가는 선일수록 고주파 진동을 내는 높은 소리를 들어 볼 수 있다.

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키워드	고유주파수, 단진자, 시계추, 현, 동하중, 기타줄

외팔보의 고유진동수 (Cantilever beam의 고유진동주파수 수식 산출방법)

외팔보의 고유진동수 (Cantilever beam의 고유진동주파수 수식 산출방법)

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외팔보 지지구조는 양단으로 지지되어 가동하는 회전기계(모터, 팬, 펌프, Roll등)와 비교하였을 때 구조 자체가 안정적이지 못하여 긴 구조의 경우 굽힘에 대한 영향을 무시할 수 없다. 특히 스핀들을 이용한winding 섬유기계는 해당되는 문제가 빈번하고 실이 엉키거나 기계전체가 진동으로 인하여 본연의 기능을 재현할 때 장애가 발생한다. 또한 굽힘 이외에 비틀림 동하중도 발생하므로 Conical mode의 문제점도 발생한다. 무엇보다도 가장 문제가 시급한 것은 고유주파수에 의한 방향성 공진(Resonance)라고 할 수 있다.

외팔보의 강성과 고유주파수

외팔보의 굽힘강성은 3EI/L³ (E:종탄성계수, I:단면2차모멘트, L:외팔보의 길이)로서 단면의 형상과 재질 그리고 가장 많은 영향을 받는  외팔보의 길이로 나타날 수 있음을 확인할 수 있다.

이미 알고 있듯이 고유진동주파수는 강성에 비례하고 질량에 반비례한다. 먼저 강성(Stiffness)의 측면에서 검토해 보자.

종탄성계수(E)는 재질의 특성값이고 외팔보의 길이(L)를 조절할 수 없을 경우에 단면의 형상을 조절하여 고유주파수를 변동할 수 있는데 단면의 형상이 원형일 경우에는 (I=πd⁴/64)의 형태를 가지고 단면의 형상이 사각형일 경우에는 (I=bh³/12, b는 폭, h는 높이)로서 운동방향에 폭보다 높이가 큰 영향을 주는 것을 알 수 있다. 즉, 외팔보의 강성을 증가시켜서 고유주파수를 상승시키기 위한 방법은 첫째, 외팔보의 길이를 짧게하거나 두번째, 상하방향의 단면 높이를 두껍게 하는 것이 주효하다고 할 수 있다. 고유주파수를 상승시키는 또 다른 방법이 있는데 바로 질량을 변동시키는 것이다. 이 때 끝단에 m의 질량을 올려놓는 것과 같은 등가의 질량을 등가질량(Equal mass)이라고 한다. 균등하게 질량이 분포하는 회전체의 경우에는 끝단에 모두 분포하는 것처럼 재계산을 해주어야 하는데 대략 전체질량의 1/2m이 된다. 참고로 비틀림강성은 GIp/L로서 (G:체적탄성계수, Ip:단면2차 극모멘트- πd⁴/32, bh³/6) 으로 나타낼 수 있다. 또한 외팔보가 아닌 양단단순지지의 경우에는 굽힘강성이16배 증가(48EI/L³) 하며, 강지지 또는 자유지지의 경우에는 굽힘강성이64배 증가(192EI/L³) 한다. 자세한 내용은 재료역학(Static, 정역학)을 참조하라.

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키워드	고유주파수, 외팔보, 동하중, 캔틸레버 빔,